HYPERCOMPLEX ALGEBRAIC STRUCTURES ORIGINATING ON A SET OF ONE-DIMENSIONAL ELEMENTS

Full Text

Введение Математизация описания физических процессов, инициированная Ньютоном и Лейбницем в XVII в., к удивлению физиков, опирающихся на эмпирические методы исследований, имела неожиданный эффект: через два столетия математика оказалась «необоснованно эффективной для использования ее в естественных науках» [1]. Примером тому послужили первые теории, базирующиеся пока еще на результатах физического опыта: «необъяснимая» (со времен Мопертюи) аналитическая механика, электродинамика Максвелла и статистическая физика Гиббса. Следующий этап развития в рамках новой синтетической науки - теоретической физики - можно характеризовать как уже чисто математическую эмпирику, то есть попытку установления закономерностей при анализе не собственно физических объектов и явлений, а математических соотношений, предлагаемых для более или менее точного их описания. Наиболее удачные примеры - теория относительности, квантовая механика и теория элементарных частиц. Впрочем, некоторые из этих находок появились в результате эвристического моделирования, как это было с уравнением Шредингера, которое, как утверждают учебники, никак не выводится из логических соображений [2]. При этом, однако, сделанные на базе этого уравнения расчеты эффектов микромира, подтвержденные экспериментально, вызывают искреннее удивление и заставляют сомневаться в верности действующих представлений о фундаментальных структурах физического мира. В силу известной ограниченности прямого эксперимента в среде объектов с характерным размером 10-15 cm осмысление «физического устройства» такой среды, как представляется, может идти по двум каналам: (i) идеалистическое моделирование с использованием словесного описания и (ii) строго математическое моделирование с использованием, по возможности, геометрических - или подобных - образов, позволяющих дать визуальное представление об описываемом объекте или явлении. Типичным примером первого варианта такого осмысления является модель Дж. Уилера так называемой предгеометрии как «среды обитания» квантово-механических объектов; эта среда описывается как некий базисный элемент физического пространства, однако при этом «…a concept of pre-geometry breaks loose all mention of geometry and distance» [3]. Пример второго пути [вариант (ii)] представлен в данной работе. В известном смысле этот путь развивает идеи Уилера, но на строго математической основе, предусматривающей взаимосвязь между допускающими визуализацию геометроподобными идеальными объектами и числами, принадлежащими исключительным алгебраическим системам. Предлагаемое исследование имеет следующую структуру. В разделе 1 показано, что в некоторой субгеометрической среде (абстрактном множестве ориентированных одномерных элементов) введение операции типа умножения порождает нестандартную алгебраическую систему - первичное квадратичное множество типа группоида, не имеющего, однако, единичного элемента, но допускающего делители нуля. В первичном множестве естественным образом определяются четыре базовых элемента, для которых строится таблица Кэли. В разделе 2 отмечено, что введение второй операции (обобщенного сложения) расширяет первичное множество до развитой алгебраической системы, автоматически включающей в себя полный набор исключительных алгебр - действительных, комплексных и кватернионных чисел, а также алгебры дуальных чисел, двойных чисел и бикватернионов. В разделе «Обсуждение и заключение» в компактной форме показано, что условие сохранения единиц указанных алгебр при простых деформациях базового абстрактного множества представляет собой дифференциальное уравнение, которое в физических единицах становится уравнением квантовой механики. Также приводятся основные результаты и перспективные направления исследования. 1. Абстрактная субгеометрическая структура порождает группоид с делителями нуля На нулевом этапе построения множества гиперкомплексных чисел (и геометрии трехмерного «физического» пространства) базовой структурой оказывается оригинальная квазиалгебраическая система («странный группоид»), не имеющая аналогов в известной классификации таких алгебраических множеств. Коротко данную процедуру построения чисел можно описать следующим образом. 1. Базисное абстрактное множество ориентированных 1В элементов Развивая идею Уилера, рассмотрим абстрактную «нефизическую» (субгеометрическую) среду

About the authors

Alexander P. Yefremov

RUDN University

Author for correspondence.
Email: vyou@yandex.ru

доктор физико-математических наук, профессор Института гравитации и космологии

6 Miklukho-Maklaya St, Moscow, 117198, Russian Federation

References

Supplementary files